Hằng Đẳng Thức Bậc 3: Công Thức, Cách Nhớ Nhanh Và Ứng Dụng Hiệu Quả

Giới thiệu về hằng đẳng thức bậc 3

 

Trong chương trình toán học ở bậc phổ thông, hằng đẳng thức là một trong những phần kiến thức nền tảng và đóng vai trò quan trọng trong quá trình học tập. Các công thức hằng đẳng thức giúp học sinh rút gọn biểu thức, khai triển nhanh và giải quyết nhiều dạng bài toán phức tạp. Bên cạnh hằng đẳng thức bậc 2 quen thuộc, hằng đẳng thức cũng thường xuyên được sử dụng trong các đề toán từ cơ bản đến nâng cao.

 

Hằng đẳng thức bậc 3 là những công thức toán học liên quan đến lũy thừa bậc ba của một biểu thức. Việc ghi nhớ và vận dụng các công thức này giúp học sinh không cần thực hiện phép nhân lặp đi lặp lại, đồng thời dễ dàng phân tích, rút gọn hoặc giải phương trình nhanh chóng.

 

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết các công thức hằng đẳng thức  cơ bản, mẹo ghi nhớ dễ dàng và những ứng dụng thực tiễn trong học tập cũng như đời sống.

Học sinh trong giờ

Các công thức hằng đẳng thức bậc 3 cơ bản

 

Hằng đẳng thức bậc 3 gồm 4 công thức chính, được sử dụng phổ biến nhất trong các bài toán đại số.

 

Khai triển lập phương của một tổng

 

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

 

Ví dụ:

(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8

 

Khai triển lập phương của một hiệu

 

(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3

 

Ví dụ:

(x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1

 

Tổng hai lập phương

 

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)

 

Ví dụ:

8 + 27 = 2^3 + 3^3 = (2 + 3)(2^2 – 2*3 + 3^2) = 65

 

Hiệu hai lập phương

 

a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)

 

Ví dụ:

27 – 8 = 3^3 – 2^3 = (3 – 2)(3^2 + 3*2 + 2^2) = 19

 

Tóm lại, bốn công thức cơ bản cần nhớ là:

 

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

 

(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3

 

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)

 

a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)

 

Chỉ cần nắm vững các công thức này, học sinh có thể xử lý hầu hết các dạng toán liên quan đến hằng đẳng thức 

Mẹo ghi nhớ hằng đẳng thức bậc 3 hiệu quả

 

Nhiều học sinh thường nhầm lẫn dấu cộng, dấu trừ trong các công thức hằng đẳng thức . Để ghi nhớ dễ dàng hơn, bạn có thể áp dụng một số mẹo sau:

 

Với công thức (a + b)^3:

 

Các hạng tử đều mang dấu dương.

 

Hệ số lần lượt là 1, 3, 3, 1 (theo tam giác Pascal).

 

Với công thức (a – b)^3:

 

Các hạng tử xen kẽ dấu dương và âm theo thứ tự: dương – âm – dương – âm.

 

Hệ số vẫn là 1, 3, 3, 1.

 

Với tổng và hiệu lập phương:

 

Tổng lập phương: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2), ở trong ngoặc thứ hai là dấu “trừ ab”.

 

Hiệu lập phương: a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2), ở trong ngoặc thứ hai là dấu “+ ab”.

 

Mẹo dễ nhớ: “Tổng thì trừ, hiệu thì cộng”.

 

Viết nhiều lần để ghi nhớ:

Bạn nên viết công thức ra giấy nhiều lần, vừa đọc vừa viết. Việc này sẽ giúp não bộ ghi nhớ lâu hơn.

 

Học qua ví dụ minh họa:

Thay vì học thuộc lòng, hãy thử khai triển một số biểu thức cụ thể. Ví dụ:

 

(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1

(x – 2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8

 

Khi làm bài tập thực tế, bạn sẽ nhớ công thức lâu hơn.

Ứng dụng của hằng đẳng thức trong toán học

 

Hằng đẳng thức không chỉ là công cụ lý thuyết mà còn có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và thực tiễn.

 

Rút gọn biểu thức phức tạp

Ví dụ:

(a^3 – b^3) / (a – b) = a^2 + ab + b^2

 

Thay vì phân tích và tính toán phức tạp, sử dụng hằng đẳng thức giúp bạn có kết quả ngay lập tức.

 

Giải phương trình bậc ba

Ví dụ:

x^3 – 8 = 0

=> x^3 – 2^3 = 0

=> (x – 2)(x^2 + 2x + 4) = 0

=> Nghiệm: x = 2 hoặc x^2 + 2x + 4 = 0

 

 Tính toán nhanh trong đầu

Ví dụ:

101^3 = (100 + 1)^3

= 100^3 + 3100^21 + 31001^2 + 1

= 1,000,000 + 30,000 + 300 + 1

= 1,030,301

 

Nhờ công thức, bạn có thể tính nhanh mà không cần đến máy tính.

 

Ứng dụng trong hình học và thể tích

Trong tính toán thể tích khối lập phương hoặc các dạng hình không gian, công thức lập phương thường xuyên được áp dụng. Ví dụ, thể tích hình lập phương cạnh a là V = a^3.

 

Bài toán thực tế

Trong các lĩnh vực như tài chính, kỹ thuật hoặc vật lý, hằng đẳng thức cũng có thể được dùng để mô tả sự tăng trưởng, tính toán khối lượng, hoặc các hiện tượng mang tính quy luật.

 

Hằng đẳng thức bậc 3 là một phần kiến thức quan trọng trong toán học, đặc biệt cần thiết cho học sinh trung học cơ sở và trung học phổ thông. Việc nắm vững 4 công thức cơ bản cùng với mẹo ghi nhớ sẽ giúp bạn rút gọn biểu thức, giải phương trình nhanh và tính toán chính xác.

 

Qua bài viết này, chúng ta đã đi qua phần giới thiệu, công thức cơ bản, cách ghi nhớ hiệu quả và những ứng dụng của hằng đẳng thức . Để thành thạo, bạn cần luyện tập thường xuyên, áp dụng công thức vào nhiều bài toán khác nhau. Khi đã quen, việc giải toán sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.